Question

1．△ABC中，∠ABC=30°，AC=$\sqrt{7}$，BC=2$\sqrt{3}$，将△ABC绕着点C顺时针旋转，A、B两点的对应点分别为A′，B′，若A′，B′刚好经过点A，AB，B′C交于点D，则$\frac{AD}{DB}$=$\frac{7}{48}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，根据30°角所对的直角边是斜边的一半依次求出CG、BG、AH、A′H的长，再由勾股定理列方程求AG的长，证明△CDG∽△ADM，得$\frac{CG}{AM}=\frac{CD}{AD}$，则CD=2$\sqrt{3}$AD，设AD=x，则CD=2$\sqrt{3}$x，GD=2-x，根据勾股定理列方程求出x的值，从而得出AD和BD的长，相比即可．

解答 解：过C作CG⊥AB于G，CH⊥AA′于H，过A作AM⊥B′C于M，
在Rt△BGC中，∠ABC=30°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
同理得：AG=2，
由旋转得：∠BAC=∠B′A′C，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠B′A′C，
∴∠BAC=∠CAA′，
∴CG=CH=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：AH=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵AC=A′C，CH⊥AA′，
∴AH=A′H=2，
∵A′B′=AB=2+3=5，
∴AB′=A′B′-AA′=5-4=1，
Rt△AMB′中，∠CB′A′=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB′=$\frac{1}{2}$，
∵∠CGD=∠DMA=90°，
∠CDG=∠ADM，
∴△CDG∽△ADM，
∴$\frac{CG}{AM}=\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$AD，
设AD=x，则CD=2$\sqrt{3}$x，GD=2-x，
由勾股定理得：CD²=DG²+CG²，
$（2\sqrt{3}x）^{2}$=$（2-x）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}$，
（x+1）（11x-7）=0，
x₁=-1（舍），x₂=$\frac{7}{11}$，
∴AD=$\frac{7}{11}$，
∴BD=5-$\frac{7}{11}$=$\frac{48}{11}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\frac{7}{11}}{\frac{48}{11}}$=$\frac{7}{48}$，
故答案为：$\frac{7}{48}$．

点评 本题考查了旋转的性质，明确旋转前后的对应边相等，对应角相等，以30°为条件，构建直角三角形，则利用一边的长，求其它两边，并与方程相结合，利用勾股定理列方程得出结论．