Question

如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=60°，∠BCD=30°，以AD，AB，BC向形外作正方形，它们面积分别为S₁，S₂，S₃，若DC=2AB，S₂=27，求

S1

，

S3

．

Answer 1

分析：作辅助线AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，根据正方形的面积求边长，再由直角三角形的边之间的关系和勾股定理求解．

解答：解：如图所示，作辅助线AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，
∵S₂=27，DC=2AB，
∴AB=

27

=3

3

，
而A′D+B′C=3

3

=AB．
AD=

S1

，BC=

S3

，BB′=

S3

2

．
∴B′C=

( S3 )2-( S3 2 )2

=

3S3

2

．
即

S1

2

+

3S3

2

=3

3

①
又∵AA′=BB′，
即

3S1

2

=

S3

2

②
解①②得

S1

=

3 3

2

，

S3

=

3S1

=

9

2

．

点评：此题综合性较强，涉及到梯形、三角形，正方形的有关内容．