Question

5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．
（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；
（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据α=60°，得到△ABP是等边三角形，求出AP=AC，得到∠APC=75°，得到答案；
（2）过点A作AE⊥BP于E，根据∠1=30°，得到∠2=15°，求出∠3=15°，证明AD=DC，得到∠DPC=∠APD；
（3）证明过程与（2）类似，可以求出∠DPC的度数．

解答 解：（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，
∴BA=BP，
∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠PAC=30°，∠ACP=75°，
∵PD⊥AC于点D，
∴∠DPC=15°；
（2）如图2，结论：∠DPC=75°，
证明：过点A作AE⊥BP于E，
∵∠1=30°，∠BAE=60°，
∴∠2=15°，又∠3=90°-75°=15°，
∴∠APD=75°，
∴AE=AD，又AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=DC，
∴∠DPC=∠APD=75°；
（3）如图3，过点A作AE⊥BP于E．
∴∠AEB=90°，
∵∠ABP=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°，
又∵BA=BP，
∴∠2=∠3=15°，
∴∠PAE=75°，
∵∠BAC=90°，
∴∠4=75°，
∴∠PAE=∠4
∵PD⊥AC于点D，
∴∠AEP=∠ADP=90°，
在△APE和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠ADP}\\{∠PAE=∠4}\\{PA=PA}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APD，
∴AE=AD，
在Rt△ABE中，∠1=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵AB=AC，
∴AE=AD$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴AD=CD，
又∵∠ADP=∠CDP=90°，
∴∠DCP=∠4=75°，
∴∠DPC=15°．

点评 本题考查的是几何变换即旋转的性质，掌握旋转的性质并正确找出对应关系是解题的关键，注意三角形确定的判定定理和性质定理的灵活运用以及直角三角形的性质的运用．