Question

12．化简：$\sqrt{3+2\sqrt{5+12\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}$=2$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 根据完全平方公式，从里到外逐一开方，求出算式$\sqrt{3+2\sqrt{5+12\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}$的值是多少即可．

解答 解：$\sqrt{3+2\sqrt{5+12\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{5+12（\sqrt{2}+1）}}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{17+12\sqrt{2}}}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}+2×2\sqrt{2}×3{+3}^{2}}}$
=$\sqrt{3+2（2\sqrt{2}+3）}$
=$\sqrt{9+4\sqrt{2}}$
=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}+2×2\sqrt{2}×1{+1}^{2}}$
=2$\sqrt{2}+1$
故答案为：2$\sqrt{2}+1$．

点评 此题主要考查了二次根式的性质和化简，解答此题的关键是要熟练掌握完全平方公式．