Question

如图，抛物线y=y=ax²-8ax+12a与x轴交A、B两点，P在y轴正半轴，PB与抛物线交于C，已知C是BP的中点，∠PBO=45°．
（1）求抛物线解析式；
（2）若将该抛物线沿x轴或y轴方向平移，使平移后的抛物线以P为顶点，请说出一种平移的方案．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点问题，解ax²-8ax+12a=0，解得x₁=2，x₂=6，则A（2，0），B（6，0），则利用∠PBO=45°可确定P点坐标为（0，6），接着利用线段中点坐标公式得到C点坐标为（3，3），然后把C点坐标代入y=ax²-8ax+12a中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）先把（1）中的解析式配方得到抛物线的顶点坐标为（4，4），再利用点平移的规律，把点（4，4）先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点P（0，6），由此可得到抛物线y=-x²+8x-12平移的方向与距离，使平移后的抛物线的顶点为点P．

解答：解：（1）当y=0时，ax²-8ax+12a=0，解得x₁=2，x₂=6，则A（2，0），B（6，0），
∵∠PBO=45°，
∴OP=OB=6，
∴P点坐标为（0，6），
∵C是BP的中点，
∴C点坐标为（3，3），
把C（3，3）代入y=ax²-8ax+12a得9a-24a+12a=3，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+8x-12；
（2）∵y=-x²+8x-12=-（x-4）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，4），
把点（4，4）先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P（0，6），
∴把抛物线y=-x²+8x-12先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到以点P为顶点的抛物线．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．