在锐角△ABC中.AB=AC.AD为BC边上的高.E为AC中点．(1)如图1.过点C作CF⊥AB于F点.连接EF．若∠BAD=20°.求∠AFE的度数,(2)若M为线段BD上的动点.过点C作CN⊥AM于N点.射线EN.AB交于P点．①依题意将图2补全,②小宇通过观察.实验.提出猜想:在点M运动的过程中.始终有∠APE=2∠MAD．小宇把这个猜想与同学们进行讨论.形成了证明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．
（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；
（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．
①依题意将图2补全；
②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．
小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．
想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．
想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．
…
请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）

分析（1）先求出∠BAC，再利用直角三角形的性质判断出EF=EA=$\frac{1}{2}$AC即可得出结论；
（2）①分点P在边AB和AB的延长线上时，两种情况补全图形；
②Ⅰ、当点P在边AB上时，
想法1、先判断出∠PED=∠APE．再判断出∠PED=2∠MAD代换即可；（用∠ADC=∠ANC=90°判断出点A，N，D，C四点共圆更简单）；
想法2、设出∠MAD=α，∠DAC=β，进而得出∠ANE=α+β，即可得出∠NEC=2α+2β．再判断出∠BAC=2∠DAC=2β．即可得出∠APE=2α即可得出结论；
Ⅱ、同Ⅰ的方法可证．

解答（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，
∴∠BAC=2∠BAD=40°．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°．
∵E为AC中点，
∴EF=EA=$\frac{1}{2}AC$．
∴∠AFE=∠BAC=40°．

（2）①Ⅰ、当点P在边AB上时，补全图形如图1，

Ⅱ、当点P在AB的延长线上时，补全图形如图2，

②Ⅰ、当点P在边AB上时，
证明：想法1：如图3，

连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE．
【∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴$AE=DE=CE=\frac{1}{2}AC$．
同理可证$AE=NE=CE=\frac{1}{2}AC$．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，】
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．
【】里面的学过四点共圆的判断方法的可以换成：
∵∠ADC=∠ANC=90°，
∴点A，N，D，C四点共圆；

想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90°．
∵E为AC中点，
∴$AE=NE=\frac{1}{2}AC$．
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β．
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β．
∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α．
∴∠APE=2∠MAD．
Ⅱ、当点P在AB的延长线上时，
证明：想法1：如图4，
连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE．
∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴$AE=DE=CE=\frac{1}{2}AC$．
同理可证$AE=NE=CE=\frac{1}{2}AC$．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．

想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90°．
∵E为AC中点，
∴$AE=NE=\frac{1}{2}AC$．
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β．
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β．
∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α．
∴∠APE=2∠MAD．

点评此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同角或等角的余角相等，解（2）的关键是根据题意补全图形，解（3）的关键是判断出∠PED=∠APE，是一道很好的中考常考题．

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