Question

如图，在?ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形AECF也是菱形．
（3）如果四边形ABCD是矩形，请判断四边形AECF的形状，不必写出证明过程．

Answer 1

分析：（1）根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）根据对角线互相垂直的四边形是菱形即可证明；
（3）因为矩形的对角线相等，根据对角线互相平分的四边形可判定AECF的形状．

解答：证明：（1）如图，连AC，设AC、BD相交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=FD，
∴OB-BE=OD-DF，即 OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即AC⊥EF；
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形；

（3）如果四边形ABCD是矩形，四边形AECF是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定、菱形的判定方法，解题的关键是准确掌握各种性质和判定．