Question

如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED=∠C．
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AC=8，cos∠BED=

4

5

，求AD的长．

Answer 1

（1）AC与⊙O相切．
证明：∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧，
∴∠BAD=∠BED，
∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠BED+∠AOC=90°，
即∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切；

（2）连接BD．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△AOC中，∠CAO=90°，
∵AC=8，∠ADB=90°，cos∠C=cos∠BED=

4

5

，
∴AO=6，
∴AB=12，
在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=

4

5

，
∴AD=AB•cos∠OAD=12×

4

5

=

48

5

．