Question

8．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线 m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明FD=FE．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°就可以求出∠BAD=∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE而得出结论；
（3）由等边三角形的性质就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF．

解答 证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；

（2）DE=BD+CE成立．
理由：∵∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠CAE}\\{BA=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）△DEF为等边三角形
理由：∵△ABF和△ACF均为等边三角形
∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠CAE}\\{BA=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．
∵∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE．
在△BDF和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FA}\\{∠DBF=∠FAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EAF（SAS）
∴DF=EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用．等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．