Question

【题目】（1）直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝﹣x+3与x轴交于点B，l1与l2交于点C，直线l3过线段AB的中点和点C，求直线l3的解析式；

（2）已知平面直角坐标系中，直线l经过点P（2，1）且与双曲线y＝交于A、B不同两点，问是否存在这样的直线l，使得点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由；

（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线y＝4x2上的不同两点（y1≠y2），线段AB的垂直平分线与y轴交于点P，与线段AB交于点M（xm，ym），则称线段AB为点P的一条“相关弦”，若点P的坐标为（0，a）时（a为常数），证明点P的“相关弦”中点M的纵坐标相同．

Answer 1

【答案】（1）直线l3的表达式为：x＝1；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x+2，见解析；（3）见解析

【解析】

（1）直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝﹣x+3与x轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则AB 中点坐标为：（1，0），即可求解；

（2）直线l的表达式为：y＝kx+1﹣2k，将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：kx2+（1﹣2k）﹣3＝0，则x1+x2＝＝2，解得：k＝﹣，；

（3）设点A、B的坐标分别为：（m，4m2）、（n，4n2），则直线AB中垂线的表达式可设为：y＝x+a，点M的坐标为：（，），将点M的表达式代入AB中垂线的表达式得：yM＝＝×+a＝+a．

解：（1）直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝﹣x+3与x轴交于点B，

则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则AB 中点坐标为：（1，0），

联立l1、l2的表达式并解得：x＝1，故点C（1，2），

故直线l3的表达式为：x＝1；

（2）设直线l的表达式为：y＝kx+b，将点P的坐标代入上式并解得：

直线l的表达式为：y＝kx+1﹣2k，

将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：kx2+（1﹣2k）﹣3＝0，

则x1+x2＝＝2，解得：k＝﹣，

故直线l的表达式为：y＝﹣x+2；

（3）设点A、B的坐标分别为：（m，4m2）、（n，4n2），

则直线AB表达式中的k值为：＝4m+4n，

则直线AB中垂线的表达式可设为：y＝x+a，

点M的坐标为：（，），

将点M的表达式代入AB中垂线的表达式得：yM＝，

故点P的“相关弦”中点M的纵坐标为常数，即都相同．