Question

10．正方形ABCD的中点E为正方形边上D→C→B之间任意一点，且满足DM⊥AE于点M，BN⊥AE于点N．
（1）求证：△ABN≌DAM．
（2）DM，MN，NB有怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠ADM=∠NAB，根据AAS即可判定．
（2）结论：DM=MN+BN，由△ABN≌△DAM推出DM=AN，AM=BN，由此即可证明．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵∠DAM+∠NAB=90°，∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠NAB=∠ADM，
∵DM⊥AE，BN⊥AE，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
在△ABN和△DAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠NAB}\\{∠AMD=∠ANB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△DAM．

（2）结论：DM=MN+BN．
理由：∵△ABN≌△DAM，
∴DM=AN，AM=BN，
∴DM=AM+MN=BN+MN．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形并且进行证明，属于中考常考题型．