Question

4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，∠EBF=45°，△EDF的周长为8，则正方形ABCD的边长为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 根据正方形的性质得AB=BC，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG，根据旋转的性质得BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠ABG=∠B=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF，得到EF=CF+AE，然后利用三角形周长的定义得到答案．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠C=90°，
∴把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，
∴BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，
∴点G在DC的延长线上，
∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠FBE，
在△FBG和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}&{\;}\\{∠FBG=∠FBE}&{\;}\\{BG=BE}&{\;}\end{array}\right.$
∴△FBG≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
而FG=FC+CG=CF+AE，
∴EF=CF+AE，
∵△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=8，
∴AD=4；
故选：D．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．