Question

如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；
（2）当0＜t≤2时，=，
当2≤t＜4时=，
综上：；
（3）（i）当MO=MP时，∠MOP=∠MPO=30°
∴PQ⊥OQ，
∴OP=2OQ，
∴4﹣t=2（t﹣2），
∴；
（ii）当OP=OM时，过P作PN⊥OQ于N，则∠QPN=45°，
∴PN=QN，
∴，
解得
（iii）当OP=PM时，PQ∥y，不可能．
综上，当或时，△OPM为等腰三角形．