Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点；直线经过点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若，求的面积；

（3）如图2，过点作直线轴，过点作于点，将绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在直线上，同时使点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+4 (2) (3) 点P坐标为（）或（ ）

【解析】

（1）由于抛物线交y轴于点C，直线y=-x+4也经过点C，令x=0代入直线即求得点C坐标．再用待定系数法即求出抛物线解析式．
（2）由OB=OC可得∠OBC=45°，所以过点D作BC的垂线并交直线CP于点F，可证得∠OBF=45°，即得到点F横坐标与B相等，纵坐标=BF=BD，由直线CD解析式求得点D即求出BD的长，进而得点F坐标，可求直线CP解析式．把直线CP解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点P坐标．求直线CP与x轴交点G，可得△PCD面积等于△CDG面积减去△PDG面积，代入计算即求得△PCD面积．
（3）由于点P'落在坐标轴上，故有两种情况需分类讨论．①当点P'在y轴上时，由∠PCH=∠P'CH'与∠OCB=∠BCH=45°可得∠DCB=∠PCB，由第（2）可知此时P（ ， ）．②当点P'在x轴上时，设点P横坐标为p，则能用p表示P'H'、CH'．过点H'作x轴的垂线MN，证得∠H'P'M=∠CH'N=∠OCD，则由∠OCD的三角函数值可求得用p表示的MH'即列方程，进而求得p的值．

（1）∵当x=0时，y=-x+4=4
∴C（0，4）
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B（4，0）、C（0，4）
∴ 解得：

∴抛物线解析式为y=-x2+x+4
（2）如图1，直线CP与x轴交于点G，过点D作DE⊥CB于点E，交直线CP于点F，连接BF．

∴∠CED=∠CEF=90°
在△CDE与△CFE中

∴△CDE≌△CFE（ASA）
∴DE=FE，即BC垂直平分DF
∴BD=BF
∵B（4，0），C（0，4）
∴OB=OC
∴∠OBC=45°
∴∠CBF=∠OBC=45°
∴∠DBF=90°
∵当y=-x+4=0时，解得：x=3
∴D（3，0）
∴BF=BD=4-3=1
∴F（4，1）
设直线CF解析式为y=kx+4
∴4k+4=1 解得：k=-

∴直线CP：y=-x+4
当y=0时，-x+4=0，解得：x=

∴G（，0），DG=-3=

∵

解得： （即点C），

∴P（）
∴S△PCD=S△CDG-S△PDG=DGOC-DGyP=DG（OC-yP）=× ×（4- ）=

∴△PCD的面积为

（3）①若点P'落在y轴上，如图2，

∵△CPH绕点C旋转得△CP'H'，H'在直线CD上
∴∠PCH=∠PCH'
∵∠OCB=∠BCH=45°
∴∠OCB-∠OCH'=∠BCH-∠PCH
即∠DCB=∠PCB
由（2）可得此时点P（）

②若点P'落在x轴上，如图3，过点H'作MN⊥x轴于点M，交直线l于点N

∴四边形OCNM是矩形
∴MN=OC=4，
∵OD=3，∠COD=90°
∴CD=

∴sin∠OCD= ，cos∠OCD= ，
设点P坐标（p，-p2+p+4）（0＜p＜4）
∴CH'=CH=p，P'H'=PH=4-（-p2+p+4）=p2-p
∵MN∥y轴
∴∠CH'N=∠OCD
∴Rt△CNH'中，cos∠CH'N=

∴NH'=CH'=p
∴MH'=MN-NH'=4-p
∵∠P'MH'=∠P'H'C=90°
∴∠P'H'M+∠CH'N=∠P'H'M+∠H'P'M=90°
∴∠H'P'M=∠CH'N
∴Rt△H'P'M中，sin∠H'P'M=

∴

解得：p1=-4（舍去），p2=

∴-p2+p+4=-

∴P（ ）
综上所述，点P坐标为（）或（ ）