Question

18．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF．
（1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
（2）若AE=5，AD=8，求EF的长．
（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；
（2）由（1）知菱形AEDF对角线互相垂直平分，故AO=$\frac{1}{2}$AD=4，根据勾股定理得EO=3，从而得到EF=6；
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．

解答 解：（1）四边形AEDF是菱形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AO=AO}\\{∠AOE=∠AOF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）∵EF垂直平分AD，AD=8，
∴∠AOE=90°，AO=4，
在RT△AOE中，∵AE=5，
∴EO=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=3，
由（1）知，EF=2EO=6；
（3）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．

点评 本题主要考查了菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．