Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于A点，交x轴于B（2，0），C（6，0）两点．已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P事抛物线上的一个动点，且位于A、C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△P′AC的最大面积；
（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得第PQ的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得CE的长，根据圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交，可得答案．

解答 解：（1）设y=ax²+bx+c，将A、B、C的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{36a+6b+3=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线为y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；
（2）如图1，
过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
设AC的解析式为y=kx+b，
将A、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
设P点的坐标为（m，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），则Q点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$x+3）；
∴PQ═-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为$\frac{27}{4}$；
此时，P点的坐标为（3，-$\frac{3}{4}$）；
（3）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
∵B（2，0），C（6，0），
∴对称轴x=4，
AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠CEB，
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{EC}$，即$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{2}{CE}$，解得CE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵$\frac{8\sqrt{13}}{13}$＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用二次函数的性质是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出半径的长是解题关键，注意圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交．