Question

在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，以C为圆心，CD为半径作⊙C，若EF=5，判断直线EF与⊙C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：过点C作CH⊥EF，垂足为H，设EH=x，根据勾股定理可得出EH，CH=CB，根据切线的判定定理即可得出结论．

解答：证明：直线EF与⊙C相切，
理由是：过点C作CH⊥EF，垂足为H，设EH=x，
∵EF=5，
∴FH=5-x，
∵AB=BC=6，E是AB的中点，
∴AE=BE=3，
∴AF=4，
∴DF=2，
∴CE=

BE2+BC2

=

9+36

=3

5

，
CF=

DF2+CD2

=

4+36

=2

10

，
∴在Rt△CEH中，CH²=EH²+EC²，
在Rt△CFH中，CH²=FH²+FC²，
∴EH²+EC²=FH²+FC²，
∴x²+45=（5-x）²+40，
解得x=3，
∴CH=6，
∴CH=CB，
∴直线EF与⊙C相切．

点评：本题考查了切线的判定，是圆的综合题．涉及全等三角形的判定与性质，切线的性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，找出线段的关系运用勾股定理求解．