Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点．

（1）如图，，，，

①点P关于点B的定向对称点的坐标是 ；

②在点，，中，______是点P关于线段AB的定向对称点．

（2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点为圆心，为半径的圆．

①当时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求的取值范围；

②对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①；②点C，D；（2）① 或；②．

【解析】

（1）①求出点P关于直线OB的对称点G即可．

②求出OP，OC，OD，OE的长即可判断．

（2）①求出两种特殊位置b的值即可．如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为P，连接PM′．如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第四象限点相切于点P时，连接OP，分别求出OH的值即可解决问题．

②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（﹣1，0），T（5，0）．求出两种特殊位置b的值即可判断．

解：（1）①如图1中，

∵P（0，2），B（1，1），

∴点P关于OB的对称点G（2，0），

故答案为：（2，0）．

②∵点C（0，﹣2），D（1，﹣），E（2，﹣1），

∴OP＝2，OD＝2，OC＝2，OE＝，

∴OP＝OD＝OC，

∴点C，D是点P关于线段AB的定向对称点．

故答案为：点C，D．

（2）①如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为P，连接PM′，

当b＞0时，

由题意得：tan∠HGO＝，

∴∠PGM＝30°，

∵PM′＝1，∠MPG＝90°，

∴MG＝2MP＝2，

∴OG＝GM+OM＝4，

∴OH＝OGtan30°＝，

当直线经过（-1，0）时， .

∴

若b＜0时，

当当直线经过（1，0）时， .

如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第四象限点相切于点P时，连接OP，

同法可得OH＝2，∴

观察图象可知满足条件的b的值：﹣2≤b≤．

综上所述，b的取值范围是 或.

②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（﹣1，0），T（5，0）．

以O为圆心，5为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第二象限相切于点J时，

可得OH＝，

此时直线GH的解析式为y＝x+，

当直线GH经过点K（﹣1，0）时，0＝﹣+b，

可得b＝，

此时直线GH的解析式为y＝x+，

观察图象可知满足条件的b的值为：≤b≤．