Question

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA的长为半径的圆分别交AC，AB于点D、E，且BD为⊙O的切线，
（1）求证：△ADE∽△BCD；
（2）若BC=4，BD=5，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）连结DE、OD，如图，根据切线的性质得OD⊥BD，则∠2+∠3=90°，利用等角的余角相等得∠1=∠3，而∠A=∠3，所以∠1=∠A，再根据圆周角定理得∠ADE=90°，于是可判断△ADE∽△BCD；
（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理计算出CD=3，再根据正弦定义得sin∠1=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{5}$，所以sinA=sin∠1=$\frac{3}{5}$．

解答 （1）证明：连结DE、OD，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠A=∠3，
∴∠1=∠A，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠C，∠A=∠1，
∴△ADE∽△BCD；
（2）解：在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴sin∠1=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=sin∠1=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定．