Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝ECEP，由此即可解决问题．

如图，作FH⊥PE于H．

∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，

∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，

∵∠FHC＝90°，CF＝2，

∴CH＝HF＝，

∵CE＝4AE，

∴EC＝4，AE＝，

∴EH＝5，

在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，

∵∠GEF＝∠GCF＝90°，

∴E，G，F，C四点共圆，

∴∠EFG＝∠ECG＝45°，

∴∠ECF＝∠EFP＝135°，

∵∠CEF＝∠FEP，

∴△CEF∽△FEP，

∴，

∴EF2＝ECEP，

∴EP＝

故答案为：．