Question

如图，已知点O为Rt△ABC斜边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
（1）求证：AE平分∠CAB；
（2）当AE=EC，AC=3时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2；
（2）利用（1）中的结论求得∠1=∠2．所以由等腰△AEC的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质求得3∠C=90°，则∠C=30°，所以通过解直角△OEC即可求得该圆的半径．

解答：（1）证明：连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠2=∠AEO．
∵OA=OE，
∴∠1=∠AEO，
∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；

（2）由（1）知，∠1=∠2、
∵AE=EC，
∴∠1=∠C．
∴∠1+∠2+∠C=3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OE=

1

2

OC，即OE=

1

2

（3-OE），
解得，OE=1，即该圆的半径是1．

点评：本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，在解答此类题目时要熟知“若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系”．