Question

12．如图，已知射线CD∥AB，∠C=∠ABD=110°，E，F在CD上，且满足∠EAD=∠EDA，AF平分∠CAE．
（1）求∠FAD的度数；
（2）若向右平行移动BD，其它条件不变，那么∠ADC：∠AEC的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；
（3）在向右平行移动BD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFC=∠ADB？若存在，请求出∠ADB度数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质求出∠CAB的度数，∠BAD=∠EAD，再由∠EAD=∠EDA，AF平分∠CAE可得出∠FAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，由此可得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可直接得出结论；
（3）设∠BAD=∠EAD=∠EDA=x°，由（1）知∠FAD=35°，根据三角形外角的性质可知∠AFC=x°+35°．再由AB∥CD可得出∠BDC=70°，故∠ADB=70°-x°，求出x的值即可得出结论．

解答 解：（1）∵射线CD∥AB，∠C=110°，
∴∠CAB=70°，∠BAD=∠EAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠EAB．
∵AF平分∠CAE，
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×70°=35°；

（2）不变．
∵AB∥CD，∠C=110°，
∴∠CAB=70°．
当BD向右平移时，∠EAD增大，∠CAB不变，
∵∠EAD=∠EDA，∠AEC=∠EAD+∠EDA，
∴∠ADC：∠AEC=1：2；

（3）存在．
设∠BAD=∠EAD=∠EDA=x°，
∵由（1）知∠FAD=35°，
∴∠AFC=x°+35°．
∵AB∥CD，∠ABD=110°，
∴∠BDC=70°，
∴∠ADB=70°-x°，
∵∠AFC=∠ADB，
∴x°+35°=70°-x°，解得x=17.5°，
∴∠ADB=70°-17.5°=52.5°．

点评 本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形外角的性质等知识．难度适中．