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9.在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E是BC边上的一个动点.
(1)如图①,求AE的最小值;
(2)如图②,若F也是CD边上的一个动点,且BE=CF,求线段EF的最小值;
(3)若tan∠AEC=3$\sqrt{3}$,问是否在菱形内部存在一点,使得这一点分别到E点,C点、D点的距离相等,若存在,请你求出这个相等的距离;若不存在,说明理由.

分析 (1)根据正弦的定义求出AE的最小值;
(2)过F作FM⊥EC交EC延长线于M,设BE=CF=2a,根据正弦、余弦的定义求出FM、CM,根据勾股定理列出算式,整理得到二次函数解析式,根据二次函数的性质计算即可;
(3)建立坐标系,根据待定系数法求出CD的解析式,得到线段CD的垂直平分线的解析式,根据勾股定理计算即可.

解答 解:(1)当AE⊥BC时,AE最小,
AE=AB×sinB=3$\sqrt{3}$,
即AE的最小值为3$\sqrt{3}$;
(2)过F作FM⊥EC交EC延长线于M,
设BE=CF=2a,则EC=6-a
CM=FC×cos∠FCM=a,FM=FC×sin∠FCM=$\sqrt{3}$a,
∴EF2=(6-2a+a)2+($\sqrt{3}$a)2=4a2-12a+36=4(x-$\frac{3}{2}$)2+27,
∴EF的最小值为$\sqrt{27}$=3$\sqrt{3}$;
(3)建立如图①所示坐标系.
则AO=3$\sqrt{3}$,
∵tan∠AEC=3$\sqrt{3}$,
∴OE=1,EC=OE+OC=1+3=4,
点C(3,0),D(6,3$\sqrt{3}$),A(0,3$\sqrt{3}$),
设直线CD的解析式为y=kx+b,
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{6k+b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
解得,k=$\sqrt{3}$,b=-3$\sqrt{3}$,
∴直线CD的解析式为:y=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$,
则线段CD的垂直平分线的解析式为:y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+3$\sqrt{3}$,
线段EC的垂直平分线为:x=1,
当x=1时,y=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$,
∴到E点,C点、D点的距离相等的点的坐标为(1,$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$),
这个距离为:$\sqrt{{2}^{2}+(\frac{8}{3}\sqrt{3})^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{57}}}{3}$.

点评 本题考查的是菱形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理的应用,掌握菱形的性质定理、正确得到二次函数的解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键.

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