Question

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据切线的性质可知OC⊥PC，则△OPC为直角三角形，OC=3，可根据锐角三角函数的定义求出PC的值；
（2）从PM是∠APC的角平分线可知∠CPM=∠MPA，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出∠CMP=∠A+∠MPA=45度．因为∠A与∠CPA为定值，故∠CMP的大小不发生变化．

解答：解：（1）连接OC，PM，
PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°；
∵∠CPA=30°，OC=

AB

2

=3，
∴tan30°=

3

PC

=

3

3

，即PC=3

3

；（5分）

（2）∠CMP的大小不发生变化；（2分）
∵PM是∠CPA的平分线，
∴∠CPM=∠MPA，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO；
在△APC中，
∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°，
∴2∠A+2∠MPA=90°，∠A+∠MPA=45°，
∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°；  （5分）
即∠CMP的大小不发生变化，为45°．

点评：本题需要学生通过尝试，提出猜想、验证猜想、总结规律．既考查基本的数学知识与方法，又注重从特殊到一般的数学归纳能力的要求，突出了学生对图形的探究及探索出有效的解法策略．
[常见错误]
（1）：利用三角函数解直角三角形时，三角函数与边不对应，或三角函数值记错；
（2）：关于∠CMP的定值问题错误的两种观点：①认为∠CMP大小不变者，用第（1）小题的特殊值（∠A=30°）进行论证；②认为∠CMP大小变化者，把∠A看成是不变的角（30°），∠CMP=∠A+∠CMP=30°+∠CMP．