练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•松江区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=
    3
    5
    ，点D在AB边上（点D与点A，B不重合），DE∥BC交AC边于点E，点F在线段EC上，且EF=
    1
    4
    AE，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，连接BG．
    （1）当EF=FC时，求△ADE的面积；
    （2）设AE=x，△DBG的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
    （3）如果△DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值．
    分析：（1）作AH⊥BC于H，在Rt△AHB中，cosB=
    BH
    AB
    =
    3
    5
    可得出AH、BC的长，进而可得出△ABC的面积，由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比即可得出△ADE的面积；
    （2）设AH交DE、GF于点M、N，由（1）可知△ADE∽△ABC，故可得出
    AE
    AC
    =
    AM
    AH
    =
    DE
    BC
    ，再根据AE=x，可知AM=
    4
    5
    x，DE=
    6
    5
    x，NH=8-x，根据S△DBG=S梯形DBCE-S平行四边形DGFE-S梯形GBCF，即可得出结论；
    （3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，由FC=10-
    5
    4
    x，cosC=cos∠ABC=
    3
    5
    ，可知PC=6-
    3
    4
    x，BQ=12-
    6
    5
    x-（6-
    3
    4
    x）=6-
    9
    20
    x，由勾股定理可用x表示出BG的长，在△DBG中用x表示出DB，DG的长，再分DB=DG和DB=BG两种情况进行讨论．
    解答：解：（1）作AH⊥BC于H．
    在Rt△AHB中，∵cosB=
    BH
    AB
    =
    3
    5
    ，AB=10，
    ∴BH=6，∴AH=8，
    ∵AB=AC，∴BC=2BH=12，
    ∴S△ABC=
    1
    2
    ×12×8=48．
    ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
    ∴
    S△ADE
    S△ABC
    =（
    AE
    AC
    ）2，
    ∵EF=
    1
    4
    AE，EF=FC，
    ∴
    AE
    AC
    =
    4
    6
    =
    2
    3
    ，
    ∴
    S△ADE
    48
    =
    4
    9
    ，
    ∴S△ADE=
    64
    3
    ；

    （2）设AH交DE、GF于点M、N．
    ∵DE∥BC，∴
    AE
    AC
    =
    AM
    AH
    =
    DE
    BC
    ，
    ∵AE=x，∴AM=
    4
    5
    x，DE=
    6
    5
    x，
    ∵MN=
    1
    4
    AM=
    1
    5
    x，∴NH=8-x，
    ∴S△DBG=S梯形DBCE-S平行四边形DGFE-S梯形GBCF，
    ∴y=
    1
    2
    （
    6
    5
    x+12）（8-
    4
    5
    x）-
    6
    5
    x•
    1
    5
    x-
    1
    2
    （
    6
    5
    x+12）（8-x），
    ∴y=-
    3
    25
    x2+
    6
    5
    x（0＜x≤8）；

    （3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，
    在Rt△FPC中，FC=10-
    5
    4
    x，cosC=cos∠ABC=
    3
    5
    ，
    ∴PC=6-
    3
    4
    x，
    ∴BQ=12-
    6
    5
    x-（6-
    3
    4
    x）=6-
    9
    20
    x，
    ∴BG=
    		(8-x)2+(6-
    9
    20
    x)    2
    ，
    在△DBG中，DB=10-x，DG=
    1
    4
    x，
    ①若DB=DG，则10-x=
    1
    4
    x，解得x=8；
    ②若DB=BG，则10-x=
    		(8-x)2+(6-
    9
    20
    x)    2
    ，
    解得x1=0（舍去），x2=
    560
    81
    ，
    ∴AD=8或AD=
    560
    81
    ．
    点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据题意判断出△ADE∽△ABC是解答此题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•松江区二模）在平面直角坐标系中，点A和点B关于原点对称，已知点A 的坐标为（-2，3），那么点B的坐标为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•松江区二模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，那么下列各式中，正确的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•松江区二模）方程
    		2x+1
    =3    的解是
    x=4
    x=4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•松江区二模）用换元法解方程x2-2x-
    2x2-2x
    =1    时，如设y=x2-2x，则将原方程化为关于y的整式方程是
    y2-y-2=0
    y2-y-2=0
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•松江区二模）已知反比例函数y=
    kx
    （k≠0）的图象经过点A（-3，2），那么k=
    -6
    -6
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案