Question

如图，已知四边形ABCD的顶点都在⊙O上，AB∥DC，

AB

+

CD

=

AD

+

BC

，若AB=4，DC=6．
（1）求证：

AD

=

BC

；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）由AB∥DC，根据圆的两条平行弦所夹的弧相等即可证明

AD

=

BC

；
（2）先由

AB

+

CD

=

AD

+

BC

，得出AB+CD=AD+BC=10，又由（1）可得AD=BC=5．作等腰梯形ABCD的高AE、BF，利用勾股定理求出AE=BF=2

6

，再根据梯形面积公式计算即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD的顶点都在⊙O上，AB∥DC，
∴

AD

=

BC

；

（2）∵

AB

+

CD

=

AD

+

BC

，AB=4，DC=6，
∴AB+CD=AD+BC=10，
又∵

AD

=

BC

，
∴AD=BC=5，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
作等腰梯形ABCD的高AE、BF，则△ADE≌△BCF，
∴DE=CF=

1

2

（6-4）=1．
在Rt△ADE中，∵∠AED=90°，AD=5，DE=1，
∴AE=

AD2-DE2

=2

6

，
∴四边形ABCD的面积=

1

2

（AB+CD）•AE=

1

2

×10×2

6

=10

6

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰梯形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．