Question

如图△ABC中，CA=CB，∠ABC=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．
（1）求证：CD=CG；
（2）若AD=CG，求证：AB=AC+BH．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠ABC=45°，然后求出∠DAC=∠GBC，再利用“角边角”证明△ACD和△BCG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）延长CG交AB于F，求出△CDG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CGD=45°，然后求出∠BGH=∠BGF，再求出BG=CG，根据等边对等角可得∠BCG=∠CBG，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBG=22.5°，再求出∠GBF=22.5°，从而得到∠CBG=∠GBF，利用“角边角”证明△BGF和△BGH全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF，再求出∠ACF=∠AFC=67.5°，根据等角对等边可得AC=AF，然后根据AB=AF+BF等量代换即可得证．

解答：证明：（1）∵CA=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵AD⊥BD，
∴∠DAC+45°+∠ABD=90°，
∴∠DAC+∠ABD=45°，
∵∠GBC+∠ABD=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠GBC，
在△ACD和△BCG中，

∠DAC=∠GBC CA=CB ∠BCG=∠DCA

，
∴△ACD≌△BCG（ASA），
∴CD=CG；

（2）如图，延长CG交AB于F，
∵∠BCG=∠DCA，
∴∠DCG=∠DCA+∠ACG=∠BCG+∠ACG=∠ACB=90°，
又∵CD=CG，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∵GH⊥CG，∠BGF=∠CGD（对顶角相等），
∴∠BGH=∠BGF，
∵△ACD≌△BCG，
∴AD=BG，
∵AD=CG，
∴BG=CG，
∴∠BCG=∠CBG，
由三角形的外角性质，∠BGF=∠BCG+∠CBG=45°，
∴∠CBG=22.5°，
∴∠GBF=∠ABC-∠CBG=45°-22.5°=22.5°，
∴∠CBG=∠GBF，
在△BGF和△BGH中，

∠BGH=∠BGF BG=BG ∠CBG=∠GBF

，
∴△BGF≌△BGH（ASA），
∴BH=BF，
又∵∠AFC=∠ABD+∠BGF=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACF=180°-∠BAC-∠AFC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠ACF=∠AFC=67.5°，
∴AC=AF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AC+BH．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，（1）难点在于求出∠DAC=∠GBC，（2）作辅助线并根据角的度数相等得到相等是角是解题的关键．