Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.

(1)求证：BF=AC；

(2)求证：CE=BF；

(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CE＜BG.证明见解析.

【解析】

(1)证明△BDF≌△CDA，得到BF＝AC；（2）由（1）问可知AC＝BF，所以CE＝AE＝BF；（3） BG＝CG，CG在△EGC中，CE＜CG.

解:(1)证明:因为CD⊥AB, ∠ABC＝45°，

所以△BCD是等腰直角三角形.

所以BD＝CD.

在Rt△DFB和Rt△DAC中,

因为∠DBF＝90°－∠BFD, ∠DCA＝90°－∠EFC,

又∠BFD＝∠EFC,

所以∠DBF＝∠DCA.

又因为∠BDF＝∠CDA＝90°,BD＝CD,.

所以Rt△DFB≌Rt△DAC.

所以BF＝AC.

(2)证明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,

因为BE平分∠ABC,

所以∠ABE＝∠CBE.

又因为BE＝BE, ∠BEA＝∠BEC＝90°,

所以Rt△BEA≌Rt△BEC.

所以CE＝AE＝AC.

又由(1),知BF＝AC,

所以CE＝AC＝BF.

(3)CE＜BG.证明:连接CG,

因为△BCD是等腰直角三角形,

所以BD＝CD,

又H是BC边的中点,

所以DH垂直平分BC.

所以BG＝CG,

在Rt△CEG中,

因为CG是斜边,CE是直角边,

所以CE＜CG,即CE＜BG.