Question

如图，AB是⊙O的直径，点D是

AC

的中点，过D点作DE⊥BC交BC于E，交BA于M；
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）连接AC交BD于F，若AF=5，CF=3，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，利用题目中告诉的相等的弧长得到相等的角，从而得到线段的平行，证得OD⊥ME，从而判定切线；
（2）连接AD、作GF⊥AB，利用角平分线的性质求得FG的长，再利用相似三角形的知识求得BC、BF的长，利用相交弦定理求BF的长即可．

解答：解：（1）证明：连接OD，
∵点D是

AC

的中点，
∴∠DOA=∠EBA
∴OD∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠MDO=∠MEB=90°，
∴ED是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，作FG⊥AB于G点，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠FGB=90°，
∴△AFG∽△ABC
∴

AF

AB

=

FG

BC

∵BD平分∠ABE，
∴FC=FG=3，
∴

BC

AB

=

3

5

，
∴BC=6，
∴BF=

FC2+BC2

=3

5

，
∵△DFA∽△CFB，
∴

DF

CF

=

AF

FB

即：

DF

3

=

5

3 5

∴DF=

5

∴BD=BF+FD=3

5

+

5

=4

5

．

点评：本题考查了切线的判定及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线，并在圆内利用相交弦定理等知识正确的求解．