Question

将一副直角三角板按图所示方式放置，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=60°，∠ECD=45°，AB边交直线DE于点M，设∠BMD=α，∠BCE=β，将直角三角板ABC绕着点C旋转，在旋转过程中，点B始终位于直线DE下方，猜想变化过程中α与β的数量关系，并利用相交线与平行线的相关知识证明你的猜想．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：分类讨论：当将直角三角板ABC绕着点C逆时针旋转时，根据三角形内角和定理得到α+30°=β+45°，
即α-β=15°；当将直角三角板ABC绕着点C顺时针旋转时，先根据三角形外角性质得∠BMD=∠1+∠B，再根据对顶角性质和三角形内角和定理得∠1=∠2，∠2=180°-∠DEC-∠BCE，所以∠BMD=180°-∠DEC-∠BCE+∠B，即α=180°-45°-β+30°，于是得到α+β=165°．

解答：解：α与β的数量关系为α-β=15°或α+β=165°．
当将直角三角板ABC绕着点C逆时针旋转时，如图1，
∵∠BMD+∠B=∠BDE+∠DEC，
∴α+30°=β+45°，
∴α-β=15°；
当将直角三角板ABC绕着点C顺时针旋转时，如图2，
∵∠BMD=∠1+∠B，
而∠1=∠2，∠2=180°-∠DEC-∠BCE，
∴∠BMD=180°-∠DEC-∠BCE+∠B，
∴α=180°-45°-β+30°，
∴α+β=165°．

点评：本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．也考查了三角形内角和定理．