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6.已知:如图,正方形ABCD,DE⊥MF,求证:BM+CF=CE.

分析 先过点M作MG⊥DC于G,构造矩形BCGM,再根据矩形和正方形的性质,判定△DCE≌△MGF,得出GF=CE,最后根据GC=MB得出结论.

解答 证明:过点M作MG⊥DC于G,则∠MGC=90°
∵正方形BACD中,∠B=∠BCG=90°
∴四边形BCGM是矩形
∴MG=BC=DC,
∵DE⊥MF,
∴∠F+∠FDE=90°,
又∵Rt△DCE中,∠DEC+∠FDE=90°,
∴∠F=∠DEC,
在△DCE和△MGF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEC}\\{∠MGF=∠DCE}\\{MG=DC}\end{array}\right.$,
∴△DCE≌△MGF(AAS),
∴GF=CE,即GC+CF=CE,
又∵矩形BCGM中,GC=MB,
∴BM+CF=CE.

点评 本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作垂线,构造矩形BCGM,利用矩形的性质进行求解.

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