Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G．
（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；
（2）求tan∠ACG的值；
（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点在二次函数y=ax²+bx+c的图象上，直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式就可以求出顶点坐标．
（2）过点G作GH⊥x轴于点H，GF⊥y轴于点F，由勾股定理求出AC、GC、AG从而求得△AGC是直角三角形，从而求得tan∠ACG的值．
（3）当AG为边时，作GH⊥x轴于H，PN⊥x轴于点N，由平行四边形的性质可以得出PE=AG，可以证明PN=GH，可以求出P的坐标，当AG为对角线时，不存在．
解答：解：（1）∵A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）在二次函数y=ax²+bx+c的图象上，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：y=x²-4x+3，
∴y=（x-2）²-1，
∴顶点G（2，-1）．

（2）G作GH⊥x轴于点H，GF⊥y轴于点F，
∵G（2，-1）、A（3，0）、B（1，0）、C（0.3），
∴CF=4，GF=2，GH=1，HA=1，在Rt△GFC、Rt△AOC、Rt△GHA中由勾股定理，得
AC²=18，GC²=20，AG²=2
∴△ACG是直角三角形，且∠CAG=90°，
∴tan∠ACG==


（3）当AG为边时，作GH⊥x轴于H，PN⊥x轴于点N
∴∠PNE=∠GHA=90°
∵四边形PEGA是平行四边形，
∴PE=AG，∠PEA=∠GAE，
∴△PNE≌△GHA，
∴PN=GH=1，设P（m，1）
∴m²-4m+3=1，
∴m=2±，
∴P（2±，1），
当AG为对角线时，不可能．
综上所述，点P的坐标为（2±，1），

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．