Question

（2012•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AB•CE=2DP•AD．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点；
（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC；
（3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB•CE=2DP•AD．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C是公共角，
∴△BEC∽△ADC；

（3）∵△BEC∽△ADC，
∴∠CBE=∠CAD，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴

AB

BC

=

AD

BE

，
∴

AB

AD

=

BC

BE

，
∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，
∴△BPD∽△BCE，
∴

DP

CE

=

BD

BE

，
∵BC=2BD，∴AB：AD=2BD：BE，
∴

AB

AD

=

2DP

CE

，
∴AB•CE=2DP•AD．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．