Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB＝AC；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为5，sinB＝，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据线段垂直平分线的性质证明；

（2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，得到DE⊥OD，证明结论；

（3）解直角三角形求得AD，进而根据勾股定理求得BD、CD，据正弦的定义计算即可求得．

（1）证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，又DC＝BD，

∴AB＝AC；

（2）证明：如图，连接OD，

∵AO＝BO，CD＝DB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，又DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE为⊙O的切线；

（3）解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵⊙O的半径为5，

∴AB＝AC＝10，

∵sinB＝ ＝ ，

∴AD＝8，

∴CD＝BD＝ ＝6，

∴sinB＝sinC＝＝，

∴DE＝．