解:(1)如图,连接MC.
∵M(
),BM=AM=MC=2
,
∴OC=
=3,
∴A(3
,0),B(-
,0),C(0,-3).则
,
解得,
,
∴该抛物线的解析式为:y=
x
2-
x-3;
(2)直线PQ经过抛物线的顶点.理由如下:
由(1)知,抛物线的解析式为y=
x
2-
x-3,即y=
-4,则其顶点坐标是(
,-4).
如图,连接MN,设直线PQ交抛物线对称轴于点G.
∵PQ是⊙M的切线,∴MN⊥PQ.
∴∠1=∠2=30°.
又∵MN=2
∴MG=
=4,则G(
,-4),即点G是抛物线的顶点坐标,
∴直线PQ经过抛物线的顶点;
(3)存在,理由如下:
如图,连接AK.
∵AB是直径,
∴∠AKB=∠BOH=90°,
又∵∠HBO=∠ABK,
∴△BOH∽△BKA,
∴
=
,则BH•BK=BO•BA=
×4
=12,即k=12.
分析:(1)易求得A(3
,0),B(-
,0),C(0,-3).把它们的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于a、b、c的三元一次方程组,通过解方程组即可求得它们的值;
(2)如图,连接MN,设直线PQ交抛物线对称轴于点G.
由(1)中的函数解析式转化为顶点式解析式,直接写出该抛物线的顶点坐标(
,-2),然后通过解直角△MNG求得MG的长度,若MG=2,则说明该切线经过抛物线的顶点,反之,该切线不经过该抛物线的顶点;
(3)存在.如图,连接AK.构建相似三角形:△BOH∽△BKA,所以根据相似三角形的对应边成比例来求k的值.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法.