Question

【题目】（1）问题发现

如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是　 　．

（2）拓展探究

如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）解决问题

如图3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）结论成立，见解析；（3）1或2

【解析】

（1）问题发现：通过角的关系可证△ABD∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例可得到线段的关系；

（2）拓展探究:可证明△ABD∽△DCE，即可得到结论；

（3）解决问题:可证△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示线段的长，当G点在线段AC上时，若△APG为等腰三角形时，则AP＝AG，代入计算即可；当G点在CA延长线上时，若△APG为等腰三角形时，则△APG为等边三角形，代入计算得到t．

解：（1）问题发现

AB，CE，BD，DC之间的数量关系是：，

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，

∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴．

故答案为：．

（2）拓展探究

（1）中的结论成立，

∵AB＝AC，∠B＝α，

∴∠B＝∠C＝α，

∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，

∵∠ADE＝α，

∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴；

（3）解决问题

∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，

∵∠PMG＝30°，

∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，

∴∠BPM＝∠CMG，

又∠B＝∠C＝30°，

∴△PBM∽△MCG，

∴，

由题意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，

如图1，过点A作AH⊥BC于H，

∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，

∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BC＝2BH＝4cm，

∴MC＝（4t）cm，

∴，即CG＝3t，

当G点在线段AC上时，若△APG为等腰三角形时，则AP＝AG，如图2，

此时AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，

∴4﹣3t＝t，

解得：t＝1，

当G点在CA延长线上时，若△APG为等腰三角形时，如图3，

此时∠PAG＝180°﹣120°＝60°，则△APG为等边三角形，AP＝AG，

此时AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，

∴3t﹣4＝t，

解得：t＝2，

∴当△APG为等腰三角形时，t的值为1或2．