Question

正方形OCED与扇形OAB有公共顶点O，分别以OA、OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示、正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动、设OC=x，OA=3，则：
（1）当x=1时，正方形与扇形不重合的面积是

 

；
（2）当x=

 

时，直线CD与扇形OAB相切，此时切点坐标是

 

；
（3）当正方形有顶点恰好落在AB上时，求正方形与扇形不重合的面积．

Answer 1

分析：（1）当x=1时，用扇形面积-正方形面积，直接得出结论；
（2）如图，直线CD与扇形OAB相切，切线为C₁D₁，切点为E₁，可知OE₁=OA=3，OE₁⊥C₁D₁，C₁D₁∥CD，故∠E₁C₁0=∠DCO=45°，解直角三角形可求OC₁，确定C点坐标；
（3）如图，当正方形有顶点恰好落在AB上时，正方形对角线OE₁=OA=3，正方形面积等于对角线积的一半，用扇形面积-正方形面积即可．

解答：解：（1）当x=1时，正方形与扇形不重合的面积是：

9π

4

-1；
（2）如图，当直线CD与扇形OAB相切时，设切线为C₁D₁，切点为E₁，
根据切线的性质得，OE₁=OA=3，OE₁⊥C₁D₁，
又∵C₁D₁∥CD，∴∠E₁C₁0=∠DCO=45°，
∴OC₂，=C₂E₁=OE₁•sin45°=

3 2

2

，
即切点E₁坐标为（

3 2

2

，

3 2

2

）；

（3）①如图，当正方形有顶点恰好落在AB上时，正方形对角线OE₁=OA=3，
不重合部分面积为：

9π

4

-

1

2

×3×3=

9π

4

-

9

2

．
②如图b，当点C，D分别与A，B重合时，OC=OA=3，
∴不重合部分面积为：S_{正方形OCED}-S_扇形AOB=9-

9

4

π．

点评：本题考查了直角坐标系中，图形的点的坐标求法，面积问题，需要根据题意，结合图形特点求解，具有一定的综合性．