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3.已知BC=4,BA⊥BC,射线CM⊥BC,动点P在BC上,PD⊥PA交CM于D.
(1)如图1,当BP=3,AB=1时,求DC的长;
(2)如图2,连接AD,当DP平分∠ADC时,求BP的长.

分析 (1)先根据AAS证明△ABP与△PCD全等,再利用全等三角形的性质解答即可;
(2)过点P作PE⊥AD,利用角平分线的性质进行解答即可.

解答 解:(1)∵BA⊥BC,射线CM⊥BC,动点P在BC上,PD⊥PA交CM于D,
∴∠A+∠APB=∠APB+∠DPC=90°,
∴∠A=∠DPC,
∵BC=4,BP=3,AB=1,
∴PC=BC-BP=4-3=1=AB,
在△ABP与△PCD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DPC}\\{∠B=∠PCD=90°}\\{AB=PC}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△PCD(AAS),
∴DC=BP=3;
(2)过点P作PE⊥AD,如图:

∵CM⊥BC,DP平分∠ADC,
∴PC=PF,∠DPC=∠DPE,
∵∠DAP+∠ADP=∠ADP+∠DPE=90°,
∴∠DAP=∠DPC,
∴∠PAB=∠DAP,
∴BP=PE,
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=2.

点评 此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据AAS证明△ABP与△PCD全等和利用角平分线的性质解答.

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