Question

3．已知BC=4，BA⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在BC上，PD⊥PA交CM于D．
（1）如图1，当BP=3，AB=1时，求DC的长；
（2）如图2，连接AD，当DP平分∠ADC时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）先根据AAS证明△ABP与△PCD全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）过点P作PE⊥AD，利用角平分线的性质进行解答即可．

解答 解：（1）∵BA⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在BC上，PD⊥PA交CM于D，
∴∠A+∠APB=∠APB+∠DPC=90°，
∴∠A=∠DPC，
∵BC=4，BP=3，AB=1，
∴PC=BC-BP=4-3=1=AB，
在△ABP与△PCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DPC}\\{∠B=∠PCD=90°}\\{AB=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴DC=BP=3；
（2）过点P作PE⊥AD，如图：

∵CM⊥BC，DP平分∠ADC，
∴PC=PF，∠DPC=∠DPE，
∵∠DAP+∠ADP=∠ADP+∠DPE=90°，
∴∠DAP=∠DPC，
∴∠PAB=∠DAP，
∴BP=PE，
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=2．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ABP与△PCD全等和利用角平分线的性质解答．