Question

9．计算：$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$…$\sqrt{1+\frac{1}{201{0}^{2}}+\frac{1}{201{1}^{2}}}$．

Answer 1

分析 先分别求出被开方数的值，再根据二次根式的性质开方，找出规律，最后根据规律求出即可．

解答 解：原式=$\sqrt{\frac{9}{4}}$+$\sqrt{\frac{49}{36}}$+$\sqrt{\frac{169}{144}}$+…+$\sqrt{\frac{201{0}^{2}×201{1}^{2}+201{1}^{2}+201{0}^{2}}{201{0}^{2}×201{1}^{2}}}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+$\frac{13}{12}$+…+$\frac{201{0}^{2}+2010+1}{2010×（2010+1）}$
=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+1+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$
=2010+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$）
=2010+1-$\frac{1}{2011}$
=2010$\frac{2010}{2011}$．

点评 本题考查了二次根式的性质的应用，能根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．