【题目】如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=
；④AF=
，其中正确结论的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个32
【答案】C
【解析】
解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；
∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC=
=
，∴∠DBC≠30°，故②错误；
∵BD=
=
，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，∴
，即
，∴AE=
；故③正确；
∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°﹣∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=，∴AF=，故④正确；
故选C．
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【题目】商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．
（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是 ；
（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．
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【题目】某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图
（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
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【题目】定义：如图1，抛物线
（
）与
轴交于
，
两点，点
在该抛物线上（点与，两点不重合），如果
的三边满足
，则称点为抛物线（）的勾股点.
（1）求证：点
是抛物线
的勾股点.
（2）如图2，已知抛物线
（）与轴交于，两点，点
是抛物线
的勾股点，求抛物线的函数表达式.
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【题目】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞
时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（ ）
A. ①②④B. ②③④C. ②④D. ③④
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【题目】如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求
的值.
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【题目】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（
）2=a﹣2
+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+
的最小值为 ．当x＜0时，x+的最大值为 ；
（2）若y=
，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
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【题目】综合与探究
如图，抛物线
的图象经过坐标原点O，且与
轴的另一交点为(
，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线
与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；
(3)在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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