Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，正比例函数的解析式为y=k′x．把点M（-2，-1）分别代入其函数解析式，运用待定系数法即可求出对应的函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，

1

2

x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0，

1

2

x）．根据三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0），正比例函数的解析式为y=k′x．
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），
∴-1=

k

-2

，-1=-2k′，
∴k=2，k′=

1

2

．
∴正比例函数的解析式为y=

1

2

x，反比例函数的解析式为y=

2

x

．

（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，

1

2

x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0，

1

2

x）．
∵S_△OBQ=S_△OAP，
∴

1

2

•x•

1

2

x=

1

2

×2×1，
解得x=±2．
当x=2时，

1

2

x=1；
当x=-2时，

1

2

x=-1．
故在直线MO上存在这样的点Q（2，1）或（-2，-1），使得△OBQ与△OAP面积相等．

点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式及三角形的面积，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．