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如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),且P(-1,-2)为双曲线上的一点精英家教网,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)设反比例函数的解析式为y=
k
x
,正比例函数的解析式为y=k′x.把点M(-2,-1)分别代入其函数解析式,运用待定系数法即可求出对应的函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,假设在直线MO上存在这样的点Q(x,
1
2
x),使得△OBQ与△OAP面积相等,则B(0,
1
2
x).根据三角形的面积公式列出关于x的方程,解方程即可.
解答:解:(1)设反比例函数的解析式为y=
k
x
(k≠0),正比例函数的解析式为y=k′x.
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),
∴-1=
k
-2
,-1=-2k′,
∴k=2,k′=
1
2

∴正比例函数的解析式为y=
1
2
x,反比例函数的解析式为y=
2
x


(2)当点Q在直线MO上运动时,假设在直线MO上存在这样的点Q(x,
1
2
x),使得△OBQ与△OAP面积相等,则B(0,
1
2
x).
∵S△OBQ=S△OAP
1
2
•x
1
2
x=
1
2
×2×1,
解得x=±2.
当x=2时,
1
2
x=1;
当x=-2时,
1
2
x=-1.
故在直线MO上存在这样的点Q(2,1)或(-2,-1),使得△OBQ与△OAP面积相等.
点评:本题考查了运用待定系数法求函数的解析式及三角形的面积,利用形数结合解决此类问题,是非常有效的方法.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数在第一象限的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四精英家教网边形OABD的面积S满足:S1=
23
S?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

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精英家教网如图,已知正比例函数y=ax与反比例函数y=
kx
的图象交于点A(3,2)
(1)求上述两函数的表达式;
(2)M(m,n)是反比例函数图象上的一个动点,其中0<m<3,过点M作直线MB∥x轴,交y轴于点B;过点A点作直线AC∥y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.若s四边形OADM=6,求点M的坐标,并判断线段BM与DM的大小关系,说明理由;
(3)探索:x轴上是否存在点P.使△OAP是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标; 若不存在,说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知正比例函数y=3x与反比例函数y=
kx
(k≠0)
的图象都经过点A和点B,点A的横坐精英家教网标为1,过点A作x轴的垂线,垂足为M,连接BM.
求:(1)这个反比例函数的解析式;
(2)△ABM的面积.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知正比例函数y=kx的图象经过点A(-2
3
,a),过点A作AB⊥x轴于点B,△A0B的面积为4
3

(1)求k和a的值;
(2)若一次函数y=nx+2的图象经过点A,并且与X轴相交于点M,问:在x轴上是否存在点P,使得以三点P、A、M组成的三角形AMP为等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的三角形的面积.

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