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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以精英家教网2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）
    （1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？
    （2）当t为何值时，PQ⊥OB？
    （3）当t为何值时，PQ∥AB？
    （4）当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？
    分析：点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3），则一定有BC∥OA．则四边形ABCO是直角梯形．
    （1）PQ平分四边形OABC的面积，则四边形OQPC的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于t的方程，即可求解；
    （2）△PMQ∽△BCO时，PQ⊥OB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
    （3）当PQ∥AB时，四边形ABPQ是平行四边形，即BP=AQ，据此即可求解；
    （4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，则OF=QF，根据勾股定理即可求解．
    解答：解：（1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3
    ∴梯形OABC的面积=
    1
    2
    ×（4+8）×3=18
    当PQ平分四边形OABC的面积时
    1
    2
    ×（t+8-2t）×3=9
    解得t=2
    即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积（3分）

    （2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，易证△PMQ∽△BCO
    ∴
    PM
    BC
    =
    QM
    CO
    ，
    ∴
    3
    4
    =
    8-3t
    3

    解得：t=
    23
    12

    即：当t=
    23
    12
    时，PQ⊥OB．（6分）

    （3）当PQ∥AB时，
    BP=AQ
    ∴4-t=2t
    解得t=
    4
    3

    即当t=
    4
    3
    时，PQ∥AB（9分）

    （4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F
    则OF=QF
    4t=8
    t=2
    OP=OQ时，精英家教网
    32+t2=（8-2t）2
    解得t1=
    16+
    		91
    3
    （不合题意，舍去）
    t2=
    16-
    		91
    3

    ∴t=
    16-
    		91
    3

    当QO=QP时
    32+（8-3t）2=（8-2t）2
    解得t1=
    8+
    		19
    5

    t2=
    8-
    		19
    5
    ．
    综上所述：当t=2或t=
    16-
    		91
    3
    或t=
    8+
    		19
    5
    或t=
    8-
    		19
    5
    时，△OPQ是等腰三角形．
    点评：本题主要考查了平行四边形，相似三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解平行四边形的判定方法，从而把问题转化为方程问题是解题的关键．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
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    5
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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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