Question

如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；
（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，-a²+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4-2a，PE=MF=-a²+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；
（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=-4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有-x²+4x=-4，解方程即可求出交点坐标．
解答：解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，
可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），
又因为抛物线经过原点，故设y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，
得，
解得
所以抛物线的解析式为y=-x²+4x；

（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：
由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，-a²+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，
∴EF=PM=4-2a，PE=MF=-a²+4a，
则矩形PEFM的周长L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，
∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，L_max=10；

（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4可知顶点坐标（2，4），
∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，
过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=-4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，
这两个交点为所求的N点坐标所以有-x²+4x=-4 解得x₁=2+，x₂=2-
∴N点坐标为N₁（2+，-4），N₂（2-，-4）．
点评：本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．