Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）求证：△ABC≌△CDA．
（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB与CD平行，AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由公共边AC，利用ASA即可得到△ABC与△CDA全等，得证；
（2）△AOC和△ABB′都为等腰三角形，理由为：由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，得到两三角形全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，等量代换得到∠ACB=∠ACB′，利用等角对等边得到OA=OC，即△AOC为等腰三角形；由全等三角形的对应边相等得到AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形；
（3）△AB′O和△CDO全等，理由为：由△AB′C全等于△ABC，且△ABC全等于△CDA，得到△AB′C全等于△CDA，根据全等三角形的对应边相等得到两对边相等，利用等量代换及等式的性质，得到△AB′O和△CDO三对边相等，利用SSS可得出两三角形全等，得证．

解答：解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，
在△ABC和△CDA中，

∠BCA=∠DAC AC=CA ∠BAC=∠ACD

，
∴△ABC≌△CDA（ASA）；

（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∵CB=CB′，
∴△CBB′为等腰三角形；

（3）△AB′O≌△CDO，理由为：
证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，
∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C=DA，AB′=CD，
又OA=OC，
∴DA-OA=B′C-OC，即OB′=OD，
在△AB′O和△CDO中，

OA=OC OB′=OD B′C=DA

，
∴△AB′O≌△CDO．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及轴对称性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．