分析 (1)由平行四边形的性质可知OA=OC,∠AEO=∠OFC,∠EAO=∠OCF,证出△AOE≌△COF,即可得出AE=CF.
(2)①先证明四边形AFCE是平行四边形,由EF⊥AC,即可得出四边形AFCE是菱形;
②由矩形的性质得出EF=AC,∠AFB=∠AFC=90°,求出AF、CF,由勾股定理求出AC,即可得出EF的长.
解答 (1)证明:∵AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.
∵O是AC的中点,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE=CF.
(2)解:①当EF和AC满足条件EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形;理由如下:如图所示:
∵AE∥CF,AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形;
②若四边形AFCE为矩形,
则EF=AC,∠AFB=∠AFC=90°,
∵AB=1,BC=2,∠B=60°,
∴∠BAF=30°,
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$,
∴AF=$\sqrt{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,CF=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$,
∴AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴EF=$\sqrt{3}$;
故答案为:$\sqrt{3}$.
点评 此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的性质;熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质、矩形的性质是解决问题的关键.
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A. | (x-2)4 | B. | (x2-2)2 | C. | (x2-4)2 | D. | (x+2)2(x-2)2 |
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A. | (2,2) | B. | (-2,2) | C. | (-2,-2) | D. | (2,2)或(-2,-2) |
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