Question

已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）若m为正整数，求此方程的根．
（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab-2b²+2b+1，求y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围后，再取正整数；
（2）由根与系数的关系可得，把b代入方程得．∴y=ab-2b²+2b+1=ab-2（b²-b）+1==．再由m的取值范围确定y的取值范围．
解答：解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴△=≥0，
∴m≤1．
∵m为正整数，
∴m=1，
当m=1时，此方程为，
∴此方程的根为．

（2）∵此方程的两个实数根为a、b，
∴，．
∴y=ab-2b²+2b+1=ab-2（b²-b）+1==．
解法一：∵m=（y-1），
又∵m≤1，
∴m=（y-1）≤1，
∴y的取值范围为y≤．
解法二：
∵m≤1，
∴≤，
∴≤，
∴y的取值范围为y≤．
点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．