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如图,平面直角坐标系中,抛物线:y=
1
2
x2-2x+3与y轴交于点A,P为拋物线上一点,且与点精英家教网A不重合.连接AP,以AO、AP为邻边作平行四边形OAPQ,PQ所在直线与x轴交于点B.设点P的横坐标为m.
(1)求点Q落在x轴上时m的值.
(2)若点Q在x轴下方,则m为何值时,线段QB的长取最大值,并求出这个最大值.
【参考公式:二次函数兴y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
)
分析:(1)可以令x=0可得点A坐标为(0,3),当Q落在x轴上时,PQ=OA=3,即可得出y=3时m的值;
(2)根据当PB取最小值时,QB最大,当x=2时,二次函数y=
1
2
x2-2x+3有最小值即可得出答案.
解答:解:(1)令x=0可得点A坐标为(0,3),当Q落在x轴上时,PQ=OA=3,
在y=
1
2
x2-2x+3中,令y=3,可求得点P横坐标m=4,
即点Q落在x轴上时m的值为4;

(2)∵QB=OA-PB=3-PB,
∴当PB取最小值时,QB最大,
二次函数y=
1
2
x2-2x+3=
1
2
(x2-4x+4-4)+3=
1
2
(x-2)2+1,
当x=2时,有最小值y=1,
故m=2时,QB的最大值为2.
点评:此题主要考查了二次函数的最值问题以及点的坐标性质,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型,特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点,同学们应重点掌握.
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精英家教网如图,平面直角坐标系中,O为直角三角形ABC的直角顶点,∠B=30°,锐角顶点A在双曲线y=
1x
上运动,则B点在函数解析式
 
上运动.

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如图,平面直角坐标系中,⊙P与x轴分别交于A、B两点,点P的坐标为(3,-1),AB精英家教网=2
3

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(2)将⊙P向下平移,求⊙P与x轴相切时平移的距离.

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a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
.点D为线段OA上一动点,连接CD.
(1)判断△ABC的形状并说明理由;
(2)如图,过点D作CD的垂线,过点B作BC的垂线,两垂线交于点G,作GH⊥AB于H,求证:
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH

(3)如图,若点D到CA、CO的距离相等,E为AO的中点,且EF∥CD交y轴于点F,交CA于M.求
FC+2AE
3AM
的值.

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