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    1．正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．

    （1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．
    ①求证：DF=EF；
    ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
    （2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

    分析 （1）由正方形的性质证得△BQP≌△PFE，从而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，故有PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，易得PA=$\sqrt{2}$EF，进而得到PC、PA、CE满足关系为：PC=$\sqrt{2}$CE+PA；
    （2）同（1）证得DF=EF，三条线段的数量关系是PA-PC=$\sqrt{2}$CE．

    解答 解：
    （1）如图2，延长FP交AB于点Q，

    ①∵AC是正方形ABCD对角线，
    ∴∠QAP=∠APQ=45°，
    ∴AQ=PQ，
    ∵AB=QF，
    ∴BQ=PF，
    ∵PE⊥PB，
    ∴∠QPB+∠FPE=90°，
    ∵∠QBP+∠QPB=90°，
    ∴∠QBP=∠FPE，
    ∵∠BQP=∠PFE=90°，
    ∴△BQP≌△PFE，
    ∴QP=EF，
    ∵AQ=DF，
    ∴DF=EF；
    ②如图2，过点P作PG⊥AD．
    ∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
    ∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
    ∵四边形DFPG为矩形，
    ∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，
    ∵PG=DF，DF=EF，
    ∴PA=$\sqrt{2}$EF，
    ∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$（CE+EF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA，
    即PC、PA、CE满足关系为：PC=$\sqrt{2}$CE+PA；
    （2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=$\sqrt{2}$CE．
    如图3：

    ①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
    ∴B、P、C、E四点共圆，
    ∴∠PEC=∠PBC，
    在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，
    ∴△PBC≌△PDC（SAS），
    ∴∠PBC=∠PDC，
    ∴∠PEC=∠PDC，
    ∵PF⊥DE，
    ∴DF=EF；
    ②同理：PA=$\sqrt{2}$PG=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$EF，PC=$\sqrt{2}$CF，
    ∴PA=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$（CE+CF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$CE+PC
    即PC、PA、CE满足关系为：PA-PC=$\sqrt{2}$CE．

    点评 本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、线段垂直平分线的性质、三角形相似的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．

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