Question

如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），连接BP，过P点作PC⊥PB交过点A的直线a于点C（2，y）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）∵PC⊥PB，BO⊥PO
∴∠CPA+∠OPB=90°，∠PBO+∠OPB=90°
∴∠CPA=∠PBO
∵A（2，0），C（2，y）在直线a上
∴∠BOP=∠PAC=90°
∴△BOP∽△PAC
∴，
∴，
∵x＜0，y＜0，
∴
∴y=-x²+x．

（2）∵x＜0，
∴x的最大整数值为-1
当x=-1时，y=-，
∴C点的坐标为（2，-）；
设直线BC的解析式为y=kx+2，将C点坐标代入后可得：
2k+2=-，k=-，
因此直线BC的解析式为y=-x+2．
当y=0时，0=-x+2，x=．
因此Q点的坐标为（，0）．
分析：（1）本题可用相似三角形来求，根据相似三角形BPO和PCA，可得出关于OB、OP、PA、AC的比例关系式，由此可得出关于x，y的函数关系式．（要注意P点的横坐标和C点的纵坐标都是负数）．
（2）根据（1）得出的函数解析式即可得出x的最大整数值，代入抛物线的解析式中即可求出C点的坐标，然后根据B、C的坐标，求出直线BC的解析式，即可求出直线BC与x轴交点Q的坐标．
点评：本题考查了三角形相似、一次函数及二次函数的综合应用等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．