如图.在平面直角坐标系中.直角三角形AOB的顶点A.B分别落在坐标轴上．O为原点.点A的坐标为．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动.同时动点N从点A出发.沿AB向终点B以每秒$\frac{5}{3}$个单位的速度运动．当一个动点到达终点时.另一个动点也随之停止运动.设动点M.N运动的时间为t秒．(1)当t=3秒时.直接写出点N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒$\frac{5}{3}$个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时，直接写出点N的坐标；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

分析（1）作NC⊥OA于C，在Rt△ANC中，求出NC、AC即可解决问题；
（2）过点N作NC⊥OA于C．由题意，AN=$\frac{5}{3}$t，AM=OA-OM=6-t，NC=NA•sin∠BAO=$\frac{5}{3}$t•$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{3}$t，则：S_△MNA=$\frac{1}{2}$AM•NC=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{4}{3}$t=-$\frac{2}{3}$（t-3）²+6，根据二次函数的性质即可解决问题；
（3）分三种情形方程列出方程即可解决问题．．

解答解：（1）作NC⊥OA于C，
∵t=3时，AN=3×$\frac{5}{3}$=5，
∴CN=AN•sin∠OAB=5×$\frac{4}{5}$=4，AC=AN•cos∠OAB=5×$\frac{3}{5}$=3，
∴OC=OA-AC=3，
∴N（3，4）
故答案为N（3，4）．

（2）过点N作NC⊥OA于C．
由题意，AN=$\frac{5}{3}$t，AM=OA-OM=6-t，
NC=NA•sin∠BAO=$\frac{5}{3}$t•$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{3}$t，
则：S_△MNA=$\frac{1}{2}$AM•NC=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{4}{3}$t，
=-$\frac{2}{3}$（t-3）²+6．
∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6．

（3）（解法1）AM=6-t，AN=$\frac{5}{3}$t （0＜t＜6），
∴AC=AN•cos∠BAO=t，
①当AM=AN时，6-t=$\frac{5}{3}$t，即 t=$\frac{9}{4}$，
②当MN=AN时，则NC垂直平分线段MA，
∴MC=AC=t
∵OM+MC+CA=OA
∴t+t+t=6    解得t=2
③当MN=MA时，设D为线段AN的中点，则 MD垂直平分线段AN
∴AD=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{5}{6}t$，
又∵cos∠DAM=cos∠OAB   （或∵△DAM∽△OAB）
∴$\frac{AD}{AM}=\frac{OA}{AB}$即 $\frac{{\frac{5}{6}t}}{6-t}=\frac{6}{10}$解得 t=$\frac{108}{43}$．

综上，当t的值取 2或$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$时，△MAN是等腰三角形．
（解法2）AN=$\frac{5}{3}$t，NC=$\frac{4}{3}$t，AC=AN•cos∠BAO=t；
∴OC=OA-AC=6-t，
∴MC=|OC-OM|=|6-t-t|=|6-2t|
Rt△NCM中  NM²=MC²+NC²
∴NM=$\sqrt{{{（6-2t）}^2}+{{（\frac{4}{3}t）}^2}}$=$\sqrt{\frac{52}{9}{t}^{2}-24t+36}$，
∴$N{M^2}=\frac{52}{9}{t^2}-24t+36$，
又：AM=6-t，AN=$\frac{5}{3}$t（0＜t＜6）；
①当MN=AN时，MN²=AN²
∴$\frac{52}{9}{t^2}-24t+36$=${（\frac{5}{3}t）^2}$，
即：t²-8t+12=0，t₁=2，t₂=6（舍去）；
②当MN=MA时，MN²=MA²
∴$\frac{52}{9}{t^2}-24t+36$=（6-t）²，
即：$\frac{43}{9}$t²-12t=0，t₁=0（舍去），t₂=$\frac{108}{43}$；
③当AM=AN时，6-t=$\frac{5}{3}$t，即t=$\frac{9}{4}$；
综上，当t的值取 2或$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$ 时，△MAN是等腰三角形．

点评本题考查三角形综合题、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用构建方程的思想思考问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．

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